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[Résolu] Algorithme, conjecture et preuve
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Nod Masculin



Autorisation : Membre
Nb de messages : 143
 		Posté le : Dim 28 Oct 2007, 9:14    

Bonjour,

Actuellement en 1ereS, j'ai un DM de mathématiques à rendre pour après les vacances.
Il se compose de 2 excercices, le premier étant facilement abordable avec le cours, je n'en parlerais donc pas ici; le second étant un peu plus délicat.

Voici l'énnoncé:
Voici un algorithme défini à partir d'un nombre entier naturel à trois chiffres non nuls dont la différence entre le chiffre des centaines et le chiffre des unités est supérieur ou égale à 2.

1- Inverser l'ordre des 3 chiffres du nombre initial pour obtenir un second nombre à 3 chiffres.
2- Soustraire le plus petit de ces deux nombres à trois chiffres du plus grand d'entre eux.
3- Inverser l'ordre des trois chiffres de la différence obtenue à l'étape 2.
4- Calculer la somme des deux nombres obtenus aux étapes 2 et 3.

a) Appliquer l'algorithme à quatre nombres distincts. Quelle conjecture pouvez-vous formuler?

R: On obtient à chaque fois 1089.

b) Elaborer une preuve de cette conjecture.

C'est donc pour ce petit "b" que j'ai besoin de votre aide.
Je n'ai aucun résultat concret, aucune méthode, rien qui me permettrait d'avancer un tantinet. :/
Je suis simplement persuader qu'il faut utiliser la notation cdu (c *100 + d * 10 + u)

Merci à tout ceux qui préterons attention à mon problème :3
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Nod Masculin



Autorisation : Membre
Nb de messages : 143
 		Posté le : Dim 28 Oct 2007, 13:22    

Tiens, j'avais oublié de marquer ma méthode:

Voici mon raisonnement:

Je suis persuadé que la condition "la différence entre le chiffre des centaines et celui des unités est supérieur ou égale à 2" impose deux cas:
Celui ou c > u et celui ou u > c (ce qui aura une influence sur l'étape 2 de l'algorithme). Je traiterais qu'un seul des cas, le second en découlera comme par magie! =)

A l'étape initiale on a donc un nombre tel que:
x = c * 100 + d * 10 + u

A l'étape 1 on a:
x = c * 100 + d *10 + u
y = u * 100 + d* 10 +c

A l'étape 2 on fait:
x - y (puisqu'on a c > u) soit:
( c * 100 + d * 10 + u) - (u * 100 + d * 10 + c)
= c*99 - u*99

Et je bloque sur l'étape 3.
Je n'arrive absoluement pas à inverser c , d et u! :/
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Thorïn Oakeenshield n/a
[Life is a game]



Autorisation : Membre
Nb de messages : 429
 		Posté le : Dim 28 Oct 2007, 14:12    

parce que = c*99 - u*99, c'est pas de la forme 100a+10b+c

mettons le sous cette forme^^
= c*99 - u*99
=99(c-u)=100(c-u)-(c-u)=100(c-u-1)+90+10-(c-u)
et ça, c'est bien de la forme 100a+10b+c, avec a=(c-u-1), b=9, c=10-(c-u)
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Nod Masculin



Autorisation : Membre
Nb de messages : 143
 		Posté le : Dim 28 Oct 2007, 14:44    

Ca marche magnifiquement bien, par contre je n'arrive pas a comprendre comme tu passes de
100(c-u)-(c-u)
à
100(c-u-1)+90+10-(c-u)

Je suis relativement nul sur le calcul, ma plus grande faiblesse, donc j'aimerais comprendre cette étape pour pouvoir la refaire plus tard mrgreen.gif

En tout cas merci de ton aide!
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Thorïn Oakeenshield n/a
[Life is a game]



Autorisation : Membre
Nb de messages : 429
 		Posté le : Dim 28 Oct 2007, 14:55    

100(c-u-1)+90+10-(c-u)=100(c-u-1)+100-(c-u)
on factorise par 100 :
100(c-u)-(c-u)
donc on retrouve bien l'expression de départ^_^

Après, si tu veux le faire toi meme, et trouver toi meme comment faire pour le mettre de la forme 100(c-u-1)+90+10-(c-u), bah il faut réfléchir un peu, et faire une soustraction comme on en fait en primaire happy.gif

pas le temps de détailler, bye^_^


c'est bien 90+10 ^_^
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Nod Masculin



Autorisation : Membre
Nb de messages : 143
 		Posté le : Dim 28 Oct 2007, 16:24    

Problème résolu.
Grace à ton ade Thorïn, il était facile de faire l'étape 3 et encore plus simple de faire la 4.
On tombe bien sur 1089 icon_arrow.gif CQFD, tout est bien dans le meilleurs des monde et moi je vais enfin pouvoir aller flemmarder un peu sur Oblvion =)
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