bonjour ,

x+z=13-y
xy+yz+xz=22-xz
z=10/(xy)

voici un petit système à 3 inconnues ; j'aimerais savoir comment vous le résoudriez, sans vous ramener aux racines d'un polynome de degré 3 (j'ai déjà trouvé cette méthode, mais j'aimerais avoir une résolution plus traditionnelle, et j'y arrive pas...)

Merci
bye !

2 questions :

-Quel niveau ?
-Tu t'es pas trompé dans ton système ?

Parce que si c'est pas le cas, je crois qu'il est impossible de faire autrement que de passer par la méthode du polynome de troisième degré. En effet, si on revient à quelque chose de géométrique, tu as l'équation d'un plan, et d'une quadrique => ça fait donc une conique, qui est une forme polynomiale. Et ensuite il faut chercher dessus ton point...

D'ailleurs, toujours géométriquement, on constate qu'on peut intervertir les variables x et z. Si ton système n'admet qu'une solution (ce qui n'est pas forcément le cas, vu que le système est pas linéaire), alors x=y. Ca peut être une piste pour trouver éventuellement une solution. J'ai pas essayé, je te garantis pas à 100% que c'est le cas.

Sinon, la méthode "traditionelle", elle passe par la résolution d'un polynôme de degré 3. C'est assez moche, et je pense pas que tu puisses être confronté à un tel système si tu es pas à au moins bac+2. Je pense qu'on peut s'en sortir géométriquement, cependant : les équations 1 et 2 peuvent plus ou moins se simplifier en l'équation d'une sphère...

Thorin s'amuse à résoudre des problèmes de maths sup' Hypercube

C'est pas Thorin

Si si.

Pour en revenir au sujet, la seconde équation me laisse suspicieux : à cause d'elle, on peut pas s'amuser à faire intervenir des trucs géométrique, ou des égalités remarquables (genre (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz) auxquelles on pense systématiquement.

Et pas possible de passer par les relations coefficients-racines.

Donc la résolution se fait par des méthodes de substitution+résolution de polynomes...C'est assez brutal, et désagréable.

C'est Thorin, j'ai juste créé un nouveau compte ^_^

-pour le niveau : un gars de math spé m'a lancé ce "défi" en me disant que j'avais tous les outils pour y arriver (mon niveau étant celui d'un TS spé physique).
-pour le système : je me suis effectivement trompé :
ils s'agit de :
x+z=13-y
xy+yz=22-xz
z=10/(xy)

donc, en réorganisant le tout, on arrive à :
x+z+y=13
xy+yz+xz=22
xyz=10
et là, on remarque tout de suite qu'il s'agit des coefficients des x dans un polynôme de degré 3 en fonctions des racines, donc en remplaçant les coefficients par 13, 22, et 10, on arrive très rapidement au polynôme
x^3-13x²+22x-10
qui a une racine évidente égale à 1, et à partir de là, on trouve facilement les 2 autres racines : 6+V26 et 6-V26
Ca, c'est la méthode simple que j'ai trouvé rapidement.

Mais je n'arrive pas à résoudre ce système comme on fait habituellement, par substitution, etc...je n'arrive pas à atterrir sur un polynome de degré3, et j'aimerais réussir comme ça xD

Si tu as une interprétation géométrique du système, je suis preneur, j'trouve ça plus joli qu'une résolution purement calculatoire...et mon niveau de TS réduit mes connaissances de l'espace au plan, et...c'est tout...

merci

(putain, je viens douloureusement de prendre conscience que j'étais en train de faire des maths totalement inutilement pendant mes grandes vacances alors que j'étais nul et je haïssais cette matière ya encore moins d'un an, et que je vais en baver à mort pendant les 2 prochaines années...quelqu'un a un bon psy ? faut que j'aille me faire soigner xD )

ben en fait, vu la tête du système, c'est probablement avec la méthode du polynome qu'il faut faire.

Le principe :
Si tu as un polynôme P qui a 3 racines (dans R), de degré 3, il s'écrit (X-a)(X-b)(X-c) nécessairement (fois une éventuelle constante).

Or en développant, on trouver que P vaut X^3-(a+b+c)X^2+(ab+bc+ba)X-abc, qui, miraculeusement, fait apparaitre les formules de ton système. Tu remplaces, et ensuite tu vérifies (obligatoirement : tu as procédé par analyse/synthèse) que le résultats marche.

Géométriquement, le problème vient de la troisième équation : en effet, avec les deux premières, tu fais apparaitre l'équation d'une sphère centrée en 0 ; en utilisant la première puis cette nouvelle, on s'aperçoit que c'est l'intersection d'un cercle, avec une courbe de degré 3 (pas trop connue, même en spé) : moyennant un changement de variable qui devrait être pas trop difficile (l'un des vecteurs de la base devient (1,1,1), évidemment normé) à effectuer, on se retrouve avec un système d'équation plus agréable : l'équation devient Z=Cste, X²+Y²=Cste2, et enfin une troisième équation, dont on peut se dépêtrer aisément au vu des deux précédentes (en utilisant l'invariance par rotation+l'une des coordonnées fixées).

Bien sûr cette méthode est plus longue...

Merci de tes indications géométriques !

Au fait, une question : en prépa, on fait des équation du genre :

Trouver n et k étant des ENTIERS NATURELS tels que :
(n+1)+(n+2)+(n+3)+...+(n+k)=63 ?
(je te demande pas de la résoudre, j'aimerais juste savoir si on résout des équations, mais dans N ou Z, pour changer du lycée...)

En général on ne fait pas trop dans Z, on travaille plutôt sur N...

J'ai jamais vu de telles équations, mais je pense qu'on peut les résoudre. De toutes façons, on peut calculer explicitement le truc que tu donnes :

n+1+n+2+...+n+k= k*n+(1+2+...+k)=k*n+ (k-1)*k/2=k*(n+(k-1)/2)

k est un entier, donc divise forcément 63=7*3*3, donc k vaut soit 7, soit 3, soit 9, soit 21, soit 63. On regarde ensuite s'il existe un n dans chaque cas, ce qui est effectivement le cas (k est impair, donc k-1/2 est entier) et voilà c'est terminé (il faut vérifier si n est dans N si l'énoncé le précise).

Mais ça, c'est niveau TS Spé Maths, au contraire de ce qui précédait sur les polynômes.

je savais résoudre, hein, c'était pas la peine de te fatiguer, c'était juste pour l'exemple ^_^

Merci encore, et bonne nuit

mais-bien-sûr...

Ben à part ça je vois pas pourquoi tu en ferais pas, de telles équations...

Tu feras des résolutions de bi congruence (ie trouver les nombres vérifiant deux congruences).

[Plus]

Si tu veux vraiment t'amuser à voir des trucs de sup pendant tes vacances (beaucoup de gens veulent le faire, même si c'est pas très décisif), tu peux déjà commencer à apprendre le programme de la spécialité mathématique, sachant que si on y revient durant l'année, c'est très rapide ; autre élément sur lesquels tu peux prendre de l'avance, les fonctions usuelles nouvelles, à savoir : sin,cos,tan hyperbolique+arctan, arccos, arcsin + leurs versions hyperbolique. En particulier apprendre leurs dérivées, et aussi apprendre les tableaux de formule d'intégration (intégrale de 1/(1+x²)², toussa...). C'est quasiment niveau TS.

Et si tu en veux encore, tu peux aussi voir tout ce qui concerne la construction des courbes, c'est pas tout à fait du niveau TS mais presque, et vu que c'est une série de méthode, ça demande pas tellement de notions autres que celles que tu connais déjà...

Bon courage !

mon but n'est pas de prendre de l'avance, mais juste de faire des choses qui m'intéressent ^_^

je vais aller chercher des infos détaillées sur tout ces chapitres, merci

Oui mais tu pourrais aussi très bien profiter de ce mois de vacances pour sombrer dans une oisivité qu'on peut espérer tout aussi éphémère que revigorifiante .

Les autres chapitres sont un peu délicat à aborder préventivement, parce qu'ils abordent des aspects/raisonnements entièrement nouveaux pour quelqu'un qui sort de TS ; en particulier tout ce qui est algèbre, très interessant et important, n'a rien à voir avec ce qu'on appelle algèbre dans le secondaire, ou très peu, et c'est délicat de l'aborder à "froid".

La géométrie par contre, est sympathique, tu peux aussi commencer par là, surtout que c'est quelque chose qui se fait typiquement dès les premières semaines, et malheureusement très peu après.